Aula 13 (24/9/2008)

Apresentamos o método da série de Taylor numa planilha de Maple.
Exercício
Compare o método da série de Taylor com erro de truncamento O(h^4) com RK4, fazendo uma análise de erro e de tempo de execução.

Aula 12 (18/9/2008)

Apresentamos o algoritmo de Verlet, aplicado a sistemas que conservam energia.
Exercícios
1. Reproduza os resultados da Fig. 1.9 de Holmes. Faça o gráficos de energia e compare com RK4.
2. Resolva os exercícios, 1.5, 1.24 e 1.25.

Aula 12 (16/9/2008)

Apresentamos os métodos de passo adaptativo de Runge-Kutta-Fehlberg RKF23 e RKF45.
Exercícios
1. Implemente RKF23 e RKF45.
2. Compare suas implementações de RKF23 e RKF45 com aquelas já instaladas no sistema, fazendo análise de tempo de execução.
3. Encontre um exemplo onde a aplicação de RKF45 é vantajosa relativamente a RK4. Utilize as bibliotecas do sisteam.

Aula 11 (9/9/2008)

Introduzimos os métodos de passo adaptativo.
Exercício:
1. Estude numericamente a estimativa do truncamente (halving).

Aula 10 (4/9/2008)

Foram apresentados os métodos de passo adaptativo de Adams-Bashford (AB)e Adams-Moulton (AM) de segunda e quarta ordem.
Exercícios
1. Deduza o método AB2 e AB4.
2. Explique os truncamentos O(h^2) e O(h^5) em AB2 e AB4, respectivamente.
3. Através de um exemplo com análise de erro, compare AB4 com RK4. Compare os tempos de execução.
4. Deduza a fórmula de AM2.
5. Compare AM4 e AB4. Compare os tempos de execução.
6. Verifique se AB2 é absolutamente estável.

Aula 9 (2/9/2008)

Nesta aula deduzimos os de Runge-Kutta de segunda ordem RK2 de forma geral.

Aula 8 (26/8/2008)

Nesta aula apresentamos a solução de alguns problemas utilizando Maple. Fizemos análise de erro envolvendo backward Euler e método trapezoidal.

Update

Fiz alguns acréscimos ao meu draft na página http://deeke.org/maple_de.html, que podem ser úteis na solução de exercícios propostos.
Aqui estão os links diretos:
A Maple Companion to Mark H. Holmes, Introduction to Numerical Methods in
Differential Equations [pdf] [mws]

Aula 7 (21/8/2008)

Nesta aula estudamos os métodos de Runge-Kutta e ghost points para a solução de EDOs de segunda ordem (Secs. 1.4 e 1.5).

Exercícios:
1. Deduza a fórmula de diferença para RK2.
2. Resolva a eq. logística com RK2 e RK4.
3. Resolva numericamente a EDO da Sec. 1.5.

Aula 6 (19/8/2008)

Nesta aula examinamos os métodos baseados em quadraturas (sec. 1.3 de Holmes).

Exercícios (entregar até 26/8):
1. Deduza as fórmulas de integração trapezoidal e Simpson (Tab. 1.4).
2. Obtenha a fórmula trapezoidal atrasada (Exercício 1.8 de Holmes).
3. Deduza as fórmulas de diferenças trapezoidal, Simpson e trapezoidal atrasada.
4. Obtenha os gráficos das Figs. 1.6 e 1.7 de Holmes. Inclua os gráficos gerados pelas fórmulas de Simpson e trapezoidal atrasada.

Maple companion to numerical ODE´s

Disponibilizei na página de Maple do site da disciplina, parte de minhas notas de aula:

A Maple Companion to Mark H. Holmes, Introduction to Numerical Methods in
Differential Equations [pdf] [mws]

Tais notas são um draft feitos através de um copy & paste do livro do Holmes, refazendo em Maple os gráficos e cálculos relevantes. Uma sugestão interessante é fazer algo parecido com esta notas, utilizando algum editor de textos simples, com cálculos feitos em Scilab.

Aula 5 (14/8/2008)

Nesta aula listamos os métodos para resolver equações diferenciais. Mostramos que o método backward Euler é A-estável, enquanto que o método obtido usando a fórmula de diferenças centradas (Leapfrog) é A-instável.

Exercícios (entregar até 26/8):
1. Obtenha a fórmula trapezoidal tabela 1.3 do livro-texto.
2. Mostre que a fórmula trapezoidal gera um método A-estável.
3. Ilustre através de um exemplo (p. ex. com a equação logística) que o método leapfrog não é A-estável.
4. Compare os métodos Euler, backward Euler, trapezoidal e leapfrog, aplicados à equação logística, para diversos comprimentos de passos.

Aula 4 (12/8/2008)

Nesta aula fizemos uma exposição sobre a aplicação de Maple para a obtenção de soluções exatas de equações diferenciais ordinárias, em particular ao problema de oscilações. Algumas worksheets apresentadas podem ser encontradas em http://deeke.org/maple_de.html.

Aula 3 (5/8/2008)

Na aula 3 foi analisado o conceito de A-stability. Justificamos o fato da equação de decaimento radioativo ser utilizada como padrão para definição de A-stability. Mostramos que o método de Euler avançado é A-estável.

Nova Página

A página atualizada desta disciplina agora está em http://deeke.org/numerical_de.html
Deixei disponíveis algumas worksheet de Maple.

Aula 2 (31/7/2008)

Na aula 2 foram abordados os seguintes tópicos:
- Aplicação do método de Euler explícito (fórmula avançada) à equação logística.
- Análise de erro: erro proveniente do truncamento, erro por arredondamento.
- Ordem do erro.

Exercícios (entregar até 12/8/2008)
1. Reproduza o gráfico da Fig. 1.3 do livro do Holmes [1], referente à solução do problema logístico.
2. Obtenha a Tabela 1.2 de Holmes e faça um gráfico de erros para diferentes valores de subintervalos.
3. Obtenha os gráficos de y(T)-yM e yM-yM_barra, definidos na p. 10 de Holmes, para diferentes valores de M.
4. Reproduza o gráfico da Fig. 1.4 de Holmes.

[1] Mark Holmes, Introduction to Numerical Methods in Differential Equations, Springer, 2007.

Aula 1 (29/7/2008)

Na aula 1 foram abordados os seguintes tópicos:
1. Introdução a problemas de valor inicial: decaimento radioativo, equação logística, sistema massa-mola amortecedor.
2. Fórmulas de diferenciação numérica.

Gráficos e soluções exatas de PVIs podem ser obtidos através de computação algébrica. Para uma breve revisão sobre teoria básica de EDOs e soluções através do Maple, vejam este draft.

Exercícios (entregar até o dia 5/8)
1. Obtenha a solução geral da equação logística. Exiba alguns gráficos mostrando o comportamento típico das soluções.
2. Resolva exatamente o sistema massa-mola-amortecedor. Descreva os três tipos básicos de solução. Exiba gráficos que ilustram o comportamento das soluções.
3. Deduza a fórmula de diferença retardada.
4. Deduza a fórmula "one-sided",